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La significance statistique

Généralités

Il s’agit de faire la différence entre la présence d’une particule, et la présence de bruit, qui n’a rien à voir avec une particule.

L’image ci-dessus est un zoom de cette image pour les masses supérieures à 300 GeV. On observe plein de pics, mais peut-on dire pour autant que ce sont des particules ? Ici, le nombre d’événement est très faible pour chaque pic ( une ou deux paires seulement ), on peut donc dire qu’il n’y a pas de résonance de particule dans cette zone d’énergie. Mais à certain moment, il n’est pas si facile de dire si l’on a effectivement trouvé une particule. Et c’est encore plus dur de dire que l’on a rien trouvé. Il est donc nécessaire de faire quelque calcul statistique, ainsi que de connaître l’erreur avec laquelle les mesures sont effectuées.

Erreur

Le calcul des erreurs de mesures est une partie très importante, qui ne peut être dissociée des mesures elles mêmes. Prenons un exemple : vous vous demandez si la diagonale de votre écran fait 18 ou 19 pouces. Vous n’avez pas de règle, vous comptez donc le nombre de pouce que vous pouvez placer sur la diagonale, et vous tombez sur 19.5 pouces. Mais votre pouce fait peut être 1.1 pouce, vous n’êtes pas sûr, à 0.1 pouce près. Cela entraîne une erreur de 1.95 pouce à la fin : la vraie valeur est donc comprise entre 17.65 et 21.35 pouce, et vous n’êtes donc pas capable de conclure. La connaissance de l’erreur est donc essentielle pour valider ou invalider une hypothèse !

Il y a plusieurs sources d’erreurs possibles : les erreurs dues au détecteur, comme la précision des mesures effectuées, ou encore la définition du détecteur ( dans certaines parties, si deux particules passent au même endroit en un temps très court, une seule des deux particules sera détectée ).
On utilise alors ce qu’on appelle des intervalles de confiance : dans l’exemple précédent, si l’on répétait plusieurs fois la mesure, cette valeur serait distribuée selon une loi normale, avec comme espérance E(x) = 19.5 et comme variance V(x) = 1.95. On a donc une probabilité de t = 68% que la vraie valeur soit dans l’intervalle [ E-V , E+V ], appelé intervalle de confiance ( t est appelé taux de confiance de l’ intervalle considéré ). Une autre façon de considérer ceci est que si l’on refait une série de mesures, 68% d’entre elles vont donner une valeur comprise dans cet intervalle. Il existe d’autres intervalles types : t = 95 % pour l’intervalle [ E-3V , E+3V ], et t = 99 % pour l’intervalle [ E-5V , E+5V ].

On voit donc qu’il y a deux types d’hypothèse : soit j’ai trouvé ma particule à t près, soit elle n’est pas présente, et j’en suis sur à t’ près. Dans la pratique, en physique des particules, on considère le nombre d’événement qui obéït soit à une probabilité de Poisson soit à une probabilité de Gauss (voir ici).

Le pic du Z0

On a vu précédemment des pics très visibles ( ici. et ) : cela ne faisait aucun doute qu’on avait un grand nombre de paire de muons issues d’un Z0 : les calculs étaient inutiles pour conclure.


Les graphiques ci-dessus ont été obtenus avec comme seules coupures un minimum de qualité pour les muons ( on a demandé des muons de catégorie "Loose") et la somme des charges nulle. On remarque que dans l’histogramme du haut, aucun pic n’apparaît à 92 GeV : il faut zoomer ( histogramme du bas) pour voir apparaître une bosse. On ne peut donc pas dire si on a significativement plus de paires à 92 GeV que ce qu’on devrait obtenir, c’est à dire si on a trouvé la présence du Z0 ou non. Pour ce faire, on va comparer ce signal à un fond où aucun Z0 ne devrait être présent ( on prend par exemple toutes les paires de muons de charge non nulle, soit deux muons de même charge par paire). Notre but est de vérifier que par rapport à ce fond, notre signal comporte bien plus d’événements aux alentours de 92 GeV.
On visualise ceci dans l’histogramme ci-dessous où la courbe rouge représente le signal, la courbe noire représente le fond.

On voit bien une différence à l’oeil nu, mais est-elle significative ? On va compter le nombre d’événements pour chaque courbe ( on intègre entre deux bornes ) : on relève, pour des masses comprises dans l’intervalle [ 70 ; 105 ], N_s = 2057 événements pour le signal et N_f = 798 pour le fond. N_f est le nombre d’événements attendus si le Z0 n’était pas là, et N_s est le nombre réellement mesuré. Si on fait \frac{(N_s - N_f)}{\sqrt{N_f}}, on obtient le "nombre de \sigma " de la mesure : plus il est important, et plus le signal est différent de ce qu’on attendait ( le fond ). On considère que au-delà de 3 \sigma, on a une probabilité de 0.99 d’avoir trouvé quelque chose ( ou alors, pour les moins chanceux, l’événement observé n’avait qu’une probabilité de 0.01 de se produire sans que ce soit dû à une nouvelle particule). Ici le calcul donne 45 \sigma , ce qui veut dire que la résonance du Z0 est très visible : même si par rapport au signal complet, on n’observe aucun pic, il est bien présent quand on le compare à un fond, et n’est pas dû à des fluctuations statistiques.

Il faut aussi prendre en compte le nombre d’événements que l’on a : en effet, si ce pic n’était pas dû au Z0 , mais à des fluctuations statistiques, il ne paraît pas anormal lorsqu’on a très peu d’événements. Mais il devrait se résorber pour tendre vers le fond lorsqu’on augmente le nombre d’événements mis en jeu. A l’opposé, ce pic va grandir ( ou du moins \sigma va augmenter ) s’il ne s’agit pas d’une fluctuation, mais bien de la résonance d’un Z0 .

Nombre d’événements totalNombre d’événements sous le signalNombre d’événements sous le fondNombre de \sigma
41378 892 336 30
97068 2057 798 45
141902 3045 118 54
189840 4055 1523 65

On voit donc bien qu’ici plus on augmente le nombre d’événements, et plus le pic grandit ( plus la différence entre le pic et le bruit est importante ). On est donc bien en présence d’une résonance, et pas d’une fluctuation statistique ! Le boson Z0 est donc bien visible.